Karakteristik Matematika Dalam Pendidikan

Karakteristik Matematika

Matematika pada dasarnya mengajarkan logika berfikir berdasarkan akal dan nalar. Namun, sifat umum matematika itu abstrak dan tidak nyata karena terdiri atas simbol-simbol. Sehingga secara natural model pembelajaran matematika yang baik adalah secara nyata dengan melihat, merasakan, dan melakukan dengan tangan para siswa. Atau secara konsep bisa diajarkan dengan cara dilihat, dipegang dan dimainkan, digambar, diucapkan, lalu ditulis.

Peran serta pendidikan matematika dalam pendidikan secara keseluruhan sangat luas tidak hanya berkaitan tentang hal yang teknis dan ilmiah saja. Buktinya bahwa persoalan-persoalan dalam kehidupan sehari-hari dapat diuraikan dalam model matematika sehingga penyelesaiannya lebih cepat dan sederhana. Hal ini sesuai dengan tujuan pengajaran matematika di sekolah yang tertuang dalam kurikulum bahwa matematika melatih siswa untuk berpikir kritis, kreatif, inovatif, dan mampu menyelesaikan masalah dengan tepat dan singkat serta dapat dipertanggungjawabkan.

Ada beberapa karakteristik matematika, antara lain :

1. Objek yang dipelajari abstrak. 

Menurut Cockroft (1982), matematika sulit dipelajari dan sulit diajarkan karena objek yang dipelajari bersifat abstrak yaitu angka atau bilangan dan memiliki hirarki yang tegas serta banyak manipulasi lambang, sehingga Guru harus dapat mengembangkan kualitas pribadi dan siswanya secara keseluruhan.

2. Kebenarannya berdasarkan logika.

Kebenaran dalam matematika adalah kebenaran secara logika bukan empiris. Artinya kebenarannya tidak dapat dibuktikan melalui ekserimen seperti dalam ilmu fisika atau biologi. Contohnya nilai √-2 tidak dapat dibuktikan dengan kalkulator, tetapi secara logika ada jawabannya sehingga bilangan tersebut dinamakan bilangan imajiner (khayal).

3. Pembelajarannya secara bertingkat dan kontinu. 

Pemberian atau penyajian materi matematika disesuaikan dengan tingkatan pendidikan dan dilakukan secara terus-menerus. Artinya dalam mempelajari matematika harus secara berulang melalui latihan-latihan soal.

4. Ada keterkaitan antara materi yang satu dengan yang lainnya.

Materi yang akan dipelajari harus memenuhi atau menguasai materi sebelumnya. Contohnya ketika akan mempelajari tentang volume atau isi suatu bangun ruang maka harus menguasai tentang materi luas dan keliling bidang datar.

5. Menggunakan bahasa simbol. 

Dalam matematika penyampaian materi menggunakan simbol-simbol yang telah disepakati dan dipahami secara umum. Misalnya penjumlahan menggunakan simbol “+” sehingga tidak terjadi dualisme jawaban.

Logika Matematika dalam Alqur'an

Fakta Matematika dalam Alqur'an

Matematika dalam Al-Qur’an
1.      Himpunan
Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined) (Bush & Young, 1873:2). Objek yang dimaksud dalam definisi tersebut mempunyai makna yang sangat luas. Objek dapat berwujud benda nyata dan dapat juga berwujud benda abstrak.
            Konsep himpunan, relasi himpunan, dan operasi himpunan ternyata juga dibicarakan dalam Al-Qur’an meskipun tidak eksplisit.  Perhatikan firman Allah SWT dalam Al-Qur’an surat Al-Faathir ayat 1 yang menjelaskan sekelompok, segolongan atau sekumpulan makhluk yang disebut malaikat. Dalam kelompok malaikat tersebut terdapat kelompok malaikat yang mempunyai dua sayap, tiga sayap, atau empat sayap. Perhatikan juga firman Allah SWT dalam Al-Qur’an surat An-Nuur ayat 45 yang menjelaskan sekelompok, segolongan, atau sekumpulan makhluk yang disebut hewan. Dalam kelompok hewan tersebut ada sekelompok yang berjalan tanpa kaki, dengan dua kaki, empat, atau bahkan lebih sesuai yang dikehendaki Allah.
            Berdasarkan dua ayat tersebut, yaitu QS Al-Fathir ayat 1 dan QS An-Nuur ayat 45, terdapat konsep matematika yang terkandung di dalamnya yaitu kumpulan objek-objek yang mempunyai ciri-ciri yang sangat jelas. Inilah yang dalam matematika dinamakan dengan himpunan.
2.      Bilangan dan Operasinya
Dalam Al-Quran disebutkan sebanyak 38 bilangan berbeda. Dari 38 bilangan tersebut, 30 bilangan merupakan bilangan asli dan 8 bilangan merupakan bilangan pecahan (rasional). 30 bilangan asli yang disebutkan dalam Al-Qur’an adalah
1 (Wahid)                       11 (Ahada Asyarah)        99 (Tis’un wa Tis’una)
2 (Itsnain)                       12 (Itsna Asyarah)           100 (Mi’ah)
3 (Tsalats)                      19 (Tis’ata Asyar)            200 (Mi’atain)
4 (Arba’)                        20 (‘Isyrun)                      300 (Tsalatsa Mi’ah)
5 (Khamsah)                  30 (Tsalatsun)                  1000 (Alf)
6 (Sittah)                        40 (‘Arba’un)                   2000 (Alfain)
7 (Sab’a)                        50 (Khamsun)                  3000 (Tsalatsa Alf)
8 (Tsamaniyah)              60 (Sittun)                        5000 (Khamsati Alf)
9 (Tis’a)                          70 (Sab’un)                      50000 (Khamsina Alf)
10 (‘Asyarah)                 80 (Tsamanun)                10000 (Mi’ati Alf),
Sedangkan 8 bilangan rasional yang disebutkan dalam Al-Qur’an adalah
 (Tsulutsa); (Nishf);  (Tsuluts);  (Rubu’);  (Khumus);  (Sudus);  (Tsumun); dan  (Mi’syar)
Mengenai relasi bilangan dalam Al-Qur’an, perhatikan firman Allah SWT dalam Al-Qur’an surat Ash-Shaffaat ayat 147 yang menjelaskan bahwa nabi Yunus diutus kepada umat yang jumlahnya 100000 orang atau lebih. Secara matematika, jika umat nabi Yunus sebanyak x orang, maka x sama dengan 100000 atau x lebih dari 100000. Dalam bahasa matematika, dapat ditulis
x = 100000      atau     x > 100000.
Tulisan tersebut dapat diringkas menjadi
x ≥ 100000.
             Masih terdapat beberapa ayat dalam Al-Qur’an yang menyebutkan relasi bilangan. Relasi bilangan dalam Al-Qur’an, disebutkan dalam beberapa redaksi, misalnya, Adnaa (kurang dari), Aktsara (lebih dari), dan Fauqa (lebih dari).
Selain berbicara bilangan dan relasi bilangan, ternyata Al-Qur’an juga berbicara tentang operasi hitung dasar pada bilangan. Operasi hitung dasar pada bilangan yang disebutkan dalam Al-Qur’an adalah operasi penjumlahan, pengurangan, dan pembagian.

Matematika dalam pandangan Islam

Matematika dalam pandangan Islam


Kalau berbicara tentang matematika dalam pandangan Islam, maka kita kita harus mengetahui bagaimana matematika Islam itu sendiri. Matematika Islam merupakan matematika yang menjadikan Al-Quran dan Sunnah nabi sebagai postulat. Hal ini sejalan dengan apa yang dikatakan oleh Nabi Muhammad SAW bahwa:
“Aku tinggalkan untuk kalian dua urusan, tidak akan kamu tersesatselama berpegang kepadanya kitab Al-quran dan Sunnah Rasul Allah” (H.R Muslim).
Sebab didalam Matematika Islam kita tidak perlu lagi membuktikan suatu data yang datangnya dari  Allah dan Rasul-Nya, sekalipun dalam perjalanannya, Matematika Islam seolah-olah membuktikan sunnah-sunnah Nabi. Data bilangan dari Al-Quran dan nabi, di olah dan dibuat model matematikanya, seperti: permata shalat, roda gigi sholat dan lain-lain. Fenomena seperti itu sering dibuat sains Quran atau sains spiritual Quran, karena Al-Quran itu seperti Ruh.
pandangan Islam terhadap matematika memberikan matematika  tempat yang khusus bagi Muslim karena cocok dengan karakter pemikiran Islam tentang keesaan dan abstraksi. Bagi Muslim matematika bukan dianggap sekuler, tapi merupakan alat untuk mencapai dunia pengetahuan berdasarkan hal-hal yang dirasakan.
Dalam Al-Quran juga mengandung banyak aspek matematika seperti hukum waris,serta dampak social moral ekonomi dalam hal ini termasuk dalam aspek niaga atau perdagangan. Serta dalam peribadatan juga diperlukan hitungan dan olahan statistik seperti pada penetapan waktu shalat. Dijelaskan dalam firman Allah:
                                             
“maka apabila kamu telah menyelesaikan shalat(mu),ingatlah Allah diwaktu berdiri,diwaktu duduk,dan diwaktu berbaring. Dan kemudian apabila kamu telah merasa aman, maka dirikanlah shalat itu (sebagaimana biasanya). Sesungguhnya shalat itu adalah fardhu yang ditentukan waktunya atas orang-orang beriman”. (QS Al-Nisa:103)
Disamping itu juga terdapat dapat bentuk transformasi shalat atau tentang putaran sudut yang dibuat saat melakukan shalat,. Salah satunya, shalat gerhana berhubungan dengan terjadinya gerhana baik matahari maupun bulan. Dalam shalat gerhana ada dua kali rukuk, setiap ruku’ dianggap bersudut 90 derajat. Jika dijumlah maka sudutnya menjadi 180 derajat. Dalam matematika ini membentuk garis lurus. Ternyata, ratusan tahun kemudian para ahli baru menemukan bahwa gerhana pun terjadi akibat posisi bulan, bumi dan matahari yang berada pada satu garis lurus.
Ini merupakan sebagian kecil dari ilmu kebenaran Al-Quran yang telah diteliti maknanya, setelah beberapa tahun lalu oleh ilmuwan barat telah dibuktikan pula manfaat shalat dan puasa untuk kesehatan. Logikanya, jika dalam tiap kali kita melakukan ruku itu membentuk 90 derajat, maka dalam tiap satu raka’at itu kita membentuk 360 derajat, sebagaimana bumi berputar yang menandakan sebagai sebuah proses kehidupan. Hal ini bisa kita simpulkan bahwa orang hidup perlu salat yang berputar 360 derajat. Ini tentu saja berbeda dengan orang mati yang tidak lagi perlu salat, tidak lagi hidup, karena itu, salat mayit pun tidak disertai dengan gerakan-gerakan sujud dan ruku, karena memang tidak lagi bergerak atau mati.
Rahasia sholat lainnya yaitu bacaan takbir yang diucapkan pada 29 kali shalat tarawih dan witir ditambah sholat Ied maka akan ditemukan bilangan 1786 yang jika dibagi 19 adalah 94. Menariknya, angka 94 itu adalah jumlah kalimat takbir dalam lima kali sholat dalam sehari. Hal-hal tersebut merupakan contoh kecil dari nilai matematika dalam Islam, masih banyak lagi yang belum bisa dipecahkan atau ditemukan oleh manusia. Dan dengan adanya aspek matematika dalam Al-quran Hal ini akan dapat mematahkan “kepercayaan” sebagian orang yang meyakini bahwa matematika itu produk Barat. Disamping itu, banyak ilmuwan Islam yang juga sangat berperan terhadap perkembangan matematika, seperti Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi atau yang biasa dikenal di kawasan Eropa dengan nama Algorisme. Al-Khwarizmi adalah orang muslim yang sangat dikenal karena kemampuannya dalam bidang matematika.
Kemudian matematika perlu dipelajari dengan kedua potensi kita, jasmani dan ruhani, aql dan qalb secara bersamaan. Qalb saja memang dapat mempelajari matematika, tetapi kadang tidak dapat memberikan penjelasan yang logis dan rasional. Qalb dapat menjawab  3 + 4 = 7, tetapi kadang tidak dapat menjawab mengapa bisa 7. Aql saja dapat mempelajari matematika, tetapi kadang terlalu lama dalam berpikir dan tidak dapat menangkap hakikat.
Didalam rumus luasan atau kelilling lingkaran selalu digunakan alat ukur yang disebut phi yang besarnya 22/7 .
    Angka 22 dan 7 mempunyai korelasi dengan ibadah haji dan rukun thawaf. Surah yang artinya haji adalah Surah ke- 22 yaitu Al-Hajj.
    Thawaf membentuk lingkaran sebanyak tujuh kali. Lihat kombinasi angkanya = 22 dan 7 . Persis sama dengan phi  lingkaran yaitu .
ii).Diagram venn
    Dalam suatu diagram venn terdapat bagian-bagian. Didalamnya terdiri dari himpunan- himpunan dan didalam himpunan tersebut terdapat elemen-elemen. Himpunan-himpunan dalam diagram venn yang merupakan himpunan semua obyek dari suatu pembicaraan disebut himpunan semesta.
Konsep diagram venn tersebut dapat kita aplikasikan dalam kehidupan manusia. khususnya untuk orang islam, karena di mata Allah SWT terdapat beberapa golongan sesuai dengan tingkat keimanannya. Yakni mutaqin, mukhsin, mukmin, muslim, dan kafir. Diagram venn  tersebut dapat digambarkan:


Keterangan:
S = Orang islam
M1: Muttaqin
M2 : Mukhsin
M3 : mukmin
M4 : Muslim
K : Kafir, yang dimaksud di sini adalah orang Islam yang berprilaku seperti orang kafir.
Dari gambar diagram venn tersebut dapat dijelaskan bahwa di mata Allah SWT orang islam dibagi dalam beberapa golongan sesuai dengan tingkat keimanannya. Yakni: muttaqin, mukmin, mukhsin, muslim dan kafir. Dimana orang islam paling sempurna ialah apabila ia telah mencapai tingkatan Muttaqin.
Muslim adalah orang yang telah bersyahadat, serta telah berserah diri dan dalam hal ini berpasrah kepada tuhan.
Mukmin adalah seorang muslim yang istiqomah atau konsisten dan berpegang teguh kepada nilai kebenaran,sampai pada hal-hal yang terkecil
Mukhsin adalah orang-orang yang bertaqwa, yang senantiasa menginfaqkan hartanya di jalan Allah.
Muttaqin adalah orang yang setiap perbuatannya sudah merupakan perwujudan dari komitmen iman dan moralnya yang tinggi.

sejarah perkembangan Filsafat Matematika

Filsafat Matematika
“Sering kali kita membaca dua sejarah besar antar Islam dan Barat seakan-akan tak pernah saling bertemu antara keduanya atau seperti dua sejarah yang harus dibedakan antara keduanya. Padahal tidaklah begitu, ketika kita mau membaca atau menyimak sejarah, sains dan ilmu pengetahuan yang kini telah berkembang pesat di era millenium sekarang ini”.

Pada era-modern kali ini pun ilmu filsafat yang dijadikan sebagai ilmu pengetahuan yang dapat merubah paradigma berfikir manusia mengalami perkembangan. Hal ini dikarenakan sifat berfikir kritis yang dilakukan para filosof tak terkecuali filosof atau ilmuwan sains dan matematika yang mampu melahirkan ide-ide dan metode pembelajarannya. Oleh karena itu filsafat umum dan filsafat matematika dalam sejarahnya adalah saling melengkapi. Filsafat matematika saling bersangkut-paut dengan fungsi dan struktur teori-teori matematika.teori-teori tersebut terbebas dari asumsi-asumsi spekulatif atau metafisik. Filsuf matematika yang dikenal adalah Phytagoras, Plato, Aristoteles, Leibniz dan Kant. Adapun pemikiran atau pandangan mereka terhadap ilmu matematika yaitu :

·         Pandangan Plato

Bagi Plato yang penting adalah tugas akal untuk membedakan tampilan (penampakan) dari realita (kenyataan) yang sebenar-benarnya. Menurutnya ketetapan abadi/permanent bebas untuk dipahami adalah hanya merupakan karakteristik pernyataan-pernyataan matematika. Plato yakin bahwa terdapat objek-objek yang permanen tertentu bebas dari pikir yang anda sebut ‘satu’, ‘dua’, ‘tiga’ dan sebagainya. Bagi Plato matematika bukanlah idealisasi aspek-aspek tertentu yang bersifat empiris akan tetapi sebagai deskripsi dari bagian realitanya.

·         Pandangan Aristoteles

Aristoteles menolak pembedaan Plato antara dunia ide yang disebutnya realita kebenaran, Aristoteles menekankan menemukan dunia ide yang permanen dan merupakan realita daripada abstraksi dari apa yang tampak.

Pandangan Leibniz

·                     Leibniz setuju dengan Aristhoteles, bahwa setiap proposisi didalam analisis terakhir berbentuk subjek-predikat. Konsep Leibniz tentang bidang studi matematika murni sangat berbeda dengan pandangan Plato dan Aristotheles karena menurutnya semua boleh mengatakan bahwa proposisi-proposisi adalah perlu benar untuk semua objek, semua kejadian yang mungkin, atau dengan menggunakan phrasenya yaitu dalam semua dunia yang mungkin.

·         Pandangan Kant

Kant membagi proposisi ke dalam tiga kelas

[] Proposisi Analitis
[] Proposisi sintetis
[] Proposisi Aritmatika dan geometri murni.

·         Pandangan Phytagoras

Doktrin Phytagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak berbeda dapat memiliki representative matematika yang identik (cahaya, magnet, listrik dapat mempunyai persamaan diferensial yang sama).

Untuk perkembangan selanjutnya filsafat matematika pun merambah kepada filsafat pendidikan matematika. Akan tetapi sebelum membahas ke filsafat pendidikan matematika kita akan membahas terlebih dahulu filsafat pendidikan. Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafati tentang pendidikan. Dapat mengkonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat pula pada ilmu pendidikan. Jika mengutamakan proses pendidikan, yang dibicarakan adalah cita-cita, bentuk dan metode serta hasil proses belajar itu. Jika mengutamakan ilmu pendidikan maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide dan metode yang digunakan dalam menelaah ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk filsafat yang membicarakan proses pendidikan matematika.

Ditinjau dari perkembangannya kemajuan matematika terbagi menjadi dua periode atau waktu.

Yang pertama membagi skala waktu kedalam tiga periode :
• Dahulu (… sampai 1673)
• Pertengahan (1638 sampai 1800)
• Sekarang (1821 sampai sekarang)

Yang kedua membagi skala waktu dibagi menjadi 7 periode :
• Babilonia dan Mesir kuno.
• Yunani (600 sampai 300 SM)
• Masyarakat Timur Tengah (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah periode2)
• Eropa pada masa Renaisance (1500 sampai 1600)
• Abad 17
• Abad 18 dan 19
• Abad 20

Melihat dari perkembangannya sebagian besar filsafat matematika berdasarkan atas perkembangan kebudayaan bangsa Eropa. Hal ini dikarenakan ahli filsafat matematika adalah orang Eropa, akan tetapi kita jangan terpaku dan menerima begitu saja pemikiran dan pandangan para ahli filsafat tersebut, karena pemikiran dan ide tidak akan habis bila kita terus berpikir, seperti halnya Francis Bacon mempertanyakan, mendebat, dan mengkritik metode berpikir induktif, yang merupakan dasar metode ilmiah sebagai tulang punggung kemajuan sains yang berpijak kepada fakta empiris.

Akhirnya perlu kita renungkan bersama baik pendidik maupun anak didik bahwa jika disini ada kebenaran maka di sana pun ada kebenran. Bila diri kita benar mungkin orang lain lebih benar dari kita. Tetapi kita tidak mengetahuinya, karena sebagaimana yang dikatakan orang-orang arif bahwa sesuatu yang paling asing bagi kita adalah kebenaran hakiki itu sendiri.

Matematika Komputasi

MATEMATIKA KOMPUTASI
Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”.  Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.

Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah pernyataan adalah benar.  Dalammatematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa saja, yang oleh para matematikawan dipilih sebagai obyek-obyek yang pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja, bilangan.  Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer.

Komputasi adalah kegiatan mendapatkan penyelesaian atau solusi atas persoalan yang dinyatakan dalam model matematis. Secara matematis pada umumnya model mengambil bentuk f(x) = y, dengan x = himpunan informasi yang tersembunyi dalam model, berupa besaran-besaran yang nilainya harus ditetapkan agar persoalan nyata dapat dipecahkan, y = himpunan data yang tersedia, berupa besaran-besaran yang nilainya telah diketahui, dan f(.) = operator matematis model tersebut.  Secara singkat dalam komputasi diberikan f(.) serta nilai numeris y, lakukanlah aktivitas untuk memperoleh nilai numeris x, agar f(x) = y dipenuhi. Secara matematis, x diperoleh operasi invers atas y.  Konkritnya, x = f-1(y),dengan f-1 operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f-1 diketahui atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.  Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak langsung. 

Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.  Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasioperasi invers atas y.  Konkritnya, x = f-1(y),dengan f-1 operator matematis untuk melaksanakan operasi invers yang dimaksudkan. Masalah utama: dalam praktek tidak banyak operator f dengan f-1 diketahui atau langsung dapat ditetapkan dengan mudah.  Oleh karena itu proses komputasi sering harus melalui jalan yang tak langsung. 

Teknik komputasi adalah perangkat ilmu tentang alat (biasanya sebuah komputer), metode (yang disebut algoritma) dan teori (bukti matematis bahwa komputasi memberi hasil yang benar) yang diperlukan untuk melaksanakan komputasi tersebut.  Sementara itu dalam melakukan kegiatan komputasiuntuk menyelesaikan suatu persoalan, seorang teknisi harus memperhatikan interaksi dari alat (komputer yang digunakan), metode (yaitu program yang dimiliki), dan sifat unik dari soal yang dihadapi, sebab dalam praktek soal-soal memiliki tingkat kesulitan yang berbeda-beda:  ada soal yang relatif sangat gampang, ada yang sulit, tetapi juga ada soal yang sangat sulit.

Sumber : rimaseptirahayu.blogspot.com

Matematika Sebagai Ilmu Bahasa

Matematika Sebagai Ilmu Bahasa

Mempelajari matematika bisa dikatakan seperti mempelajari kehidupan. Tidak akan pernah menemukan kepuasan hingga hanya “tak terhingga” yang bisa menghentikan langkah. Hampir semua bidang bisa dilogika dengan matematika. Matematika bukanlah pelajaran yang kaku tanpa seni. Matematika adalah seni menghitung, seni merangkai bilangan, dan matematika dapat juga dikatakan sebagai seni dalam berbahasa.

Selama ini orang beranggapan bahwa bahasa yang universal adalah bahasa dari suatu negara yang sudah jamak digunakan untuk komunikasi bersama, seperti bahasa Indonesia untuk mempersatukan wilayah Indonesia atau bahasa Inggris sebagai bahasa komunikasi dunia.

Namun pernahkah terbayang, bahwa matematika juga termasuk bahasa universal?

Matematika merupakan bahasa simbol yang berlaku secara universal yang memiliki makna-makna tersendiri. Konsep-konsep matematika secara universal dimengerti oleh manusia bahkan sudah terdapat dalam pikiran setiap manusia. .

Konsep-konsep ini tertuang dalam simbol yang dipelajari dan diekspresikan sesuai kaidah pembelajaran matematika. Satu (Indonesia) memiliki arti sama dengan sikok (Palembang). Satu juga memiliki arti sama dengan one (Inggris), tetapi hanya ada satu simbol untuk satu, yaitu ‘1’.

Semua orang akan memahami “1” sebagai simbol dari satu atau sejenisnya dalam bahasa lain. Jarang yang memiliki kesalahan persepsi atas “1” karena semua memahaminya sebagai suatu hal yang sama. Dengan universalitas matematika tersebut, maka secara tidak langsung, bagi orang-orang yang menguasai angka tentu akan bisa menjadi bersahabat dengan dunia, terlebih di era global yang menuntut komunikasi yang logis dan terukur.

Matematika sebagai alat bagi ilmu lain sudah cukup dikenal dan sudah tidak diragukan lagi. Matematika bukan hanya sekedar alat bagi ilmu, tetapi lebih dari itu matematika adalah bahasa. Salah satu rahasia kekuatan matematika adalah perlambangan yang abstrak, yang merupakan suatu bahasa penuh dalam dirinya sendiri. Kita umpamakan alam semesta ini bagaikan sebuah buku raksasa yang hanya dapat kalau orang mengerti bahasanya dan akrab dengan lambang dan huruf yang digunakan di dalamnya, dan bahasa alam tersebut tidak lain adalah bahasa  matematika.

                Salah satu karakteristik matematika adalah matematika memiliki simbol kosong dari arti, hal ini memungkinkan matematika sebagai bahasa. Dalam matematika banyak sekali simbol yang digunakan baik berupa huruf maupun nonhuruf. Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika. Model matematika dapat berupa persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu, dan sebagainya. Matematika sebagai bahasa mampu mengatasi kekurangan dari bahasa verbal, bahasa matematika menghilangkan sifat kabur, majemuk dan emosional dari bahasa verbal. Bahasa matematika memiliki makna yang tunggal, sehingga kalimat matematika tidak dapat diartikan bermacam-macam. Ketunggalan makna dalam bahasa matematika sering disebut sebagai bahasa Internasional, karena komunitas pengguna matematika bercorak global dan universal di semua negara tanpa batasan apapun.

          Tidak diragukan lagi bahwa banyak pengembangan ilmu dan pemecahan persoalannya menggunakan matematika sebagai bahasa, karena bahasa matematika merupakan bahasa yang cermat dan tepat. Untuk dapat menguasai berbagai bidang ilmu maka sudah seharusnyalah kita mempelajari dan mengenali bahasa matematika.

Ig : Kikka.chu

thank you ^_^

"Filsafat Kebenaran Dalam Matematika"

“Filsafat Kebenaran Dalam Matematika”  Tingkat kebenaran ini berbeda-beda wujud, sifat dan kualitasnya bahkan juga proses dan cara terjadinya, disamping potensi subyek yang menyadarinya. Pendidikan pada umumnya dan ilmu pengetahuan pada khususnya mengemban tugas utama untuk menemukan, mengembangkan, menjelaskan, dan menyampaikan nilai-nilai kebenaran. Semua orang yang berhasrat untuk mencintai kebenaran, bertindak sesuai dengan kebenaran. Kebenaran adalah suatu nilai utama di dalam kehidupan manusia sebagai nilai-nilai yang menjadi fungsi rohani manusia. Artinya sifat manusiawi atau martabat kemanusiaan (human dignity) selalu berusaha “memeluk” suatu kebenaran. Kebenaran sebagai ruang lingkup dan obyek pikir manusia sudah lama menjadi penyelidikan manusia. Manusia sepanjang sejarah kebudayaannya menyelidiki secara terus menerus apakah hakekat kebenaran itu?Jika manusia mengerti dan memahami kebenaran, sifat asasinya terdorong pula untuk melaksanakan kebenaran itu. Sebaliknya pengetahuan dan pemahaman tentang kebenaran, tanpa melaksanakan kebenaran tersebut manusia akan mengalami pertentangan batin, konflik spikologis. Menurut para ahli filsafat itu bertingkat-tingkat bahkan tingkat-tingkat tersebut bersifat hirarkhis. Kebenaran yang satu di bawah kebenaran yang lain tingkatan kualitasnya .   Kebenaran dibedakan menjadi tiga jenis, yaitu kebenaran epistemologis, kebenaran ontologis dan kebenaran semantis. Kebenaran epistemologis adalah kebenaran yang berhubungan dengan pengetahuan manusia. Kebenaran ontologis adalah kebenaran sebagai sifat dasar yang melekat pada hakikat segala sesuatu yang ada atau diadakan.  Sedangkan kebenaran semantis adalah kebenaran yang terdapat serta melekat dalam tutur kata dan bahasa. Adapun teori-teori kebenaran menurut filsafat adalah sebagai berikut : 1. Teori Korespondensi (The Correspondence Theory of Truth)Masalah kebenaran menurut teori ini hanyalah perbandingan antara realita obyek (informasi, fakta, peristiwa, pendapat) dengan apa yang ditangkap oleh subjek (ide, kesan). Jika ide atau kesan yang dihayati subjek (pribadi) sesuai dengan kenyataan, realita, objek, maka sesuatu itu benar. Kebenaran adalah fidelity to objektive reality (kesesuaian pikiran dengan kenyataan). Teori ini dianut oleh aliran realis yang dipelopori oleh Plato, Aristotels dan Moore kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh Ibnu Sina, Thomas Aquinas, serta oleh Berrand Russel.2. Teori Konsistensi atau Koherensi   Menurut teori konsistensi untuk menetapkan suatu kebenaran bukanlah didasarkan atas hubungan subyek dengan realitas obyek. Sebab apabila didasarkan atas hubungan subyek (ide, kesan dan comprehension-nya) dengan obyek, pastilah ada subyektivitasnya. Oleh karena itu pemahaman subyek yang satu tentang sesuatu realitas akan mungkin berbeda dengan apa yang di dalam pemahaman subyek lain.
Teori ini dipandang sebagai teori ilmiah yaitu sebagai usaha yang sering dilakukan di dalam penelitian pendidikan khsusunya di dalam bidang pengukuran pendidikan. Rumusan kebenaran adalah turth is a sistematis coherence dan truth is consistency. Jika A = B dan B = C maka A = C.Logika matematik yang deduktif memakai teori kebenaran koherensi ini. Logika ini menjelaskan bahwa kesimpulan akan benar, jika premis-premis yang digunakan juga benar. Teori ini digunakan oleh aliran metafisikus rasional dan idealis. Contoh dari teori ini adalah : Premis 1 : “Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2”  dan Premis 2 : “4 habis dibagi 2” maka kesimpulannya adalah : “4 adalah bilangan genap”.3. Teori Pragmatisme            Teori pragmatisme (the pragmatic theory of truth) menganggap suatu pernyataan, teori atau dalil itu memiliki kebenaran bila memiliki kegunaan dan manfaat bagi kehidupan manusia. Salah satu contoh teori ini dalam matematika adalah pada trigonometri pengukuran sudut berguna untuk menentukan arah, kemiringan bidang atau mendesain dan membuat suatu bangun ruang. Kaum pragmatis menggunakan kriteria kebenarannya dengan kegunaan (utility), dapat dikerjakan (workability) dan akibat yang memuaskan (satisfactor consequence). Oleh karena itu, tidak ada kebenaran yang mutlak/ tetap, kebenarannya tergantung pada manfaat dan akibatnya.
C. Matematika dalam Filsafat Kebenaran tentang angka nolRatusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekali pun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat. Pelajaran tentang bilangan nol, dari sejak zaman dahulu sampai sekarang selalu menimbulkan kebingungan bagi para pelajar dan mahasiswa, bahkan masyarakat pengguna. Mengapa? Bukankah bilangan nol itu mewakili sesuatu yang tidak ada dan yang tidak ada itu ada, yakni nol. Siapa yang tidak bingung? Tiap kali bilangan nol muncul dalam pelajaran Matematika selalu ada ide yang aneh. Seperti ide jika sesuatu yang ada dikalikan dengan 0 maka menjadi tidak adaa.
Aturan lain tentang nol adalah bahwa suatu bilangan jika dibagi nol tidak didefinisikan. Maksudnya, bilangan berapa pun tidak bisa dibagi dengan nol. Komputer yang canggih bagaimana pun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan pembagi angka nol. Komputer memang diperintahkan berhenti berpikir jika bertemu sang divisor nol. Bilangan disusun berdasarkan hierarki menurut satu garis lurus. Pada titik awal adalah bilangan nol, kemudian bilangan 1, 2, dan seterusnya. Bilangan yang lebih besar di sebelah kanan dan bilangan yang lebih kecil di sebelah kiri. Semakin jauh ke kanan akan semakin besar bilangan itu. Berdasarkan derajat hierarki (dan birokrasi bilangan), seseorang jika berjalan dari titik 0 terus-menerus menuju angka yang lebih besar ke kanan akan sampai pada bilangan yang tidak terhingga. Tetapi, mungkin juga orang itu sampai pada titik 0 kembali.
Lain lagi. Jika seseorang berangkat dari nol, ia tidak mungkin sampai ke bilangan 4 tanpa melewati terlebih dahulu bilangan 1, 2, dan 3.Bilangan tidak hanya terdiri atas bilangan bulat, tetapi juga ada bilangan desimal antara lain dari 0,1; 0,01; 0,001; dan seterusnya sekuat-kuat kita bisa menyebutnya sampai sedemikian kecilnya. Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil. .Berdasarkan konsep bilangan desimal dan kontinu, maka garis bilangan yang kita pakai ternyata tidak sesederhana itu karena antara dua bilangan selalu ada bilangan ke tiga. Jika seseorang melompat dari bilangan 1 ke bilangan 2, tetapi dengan syarat harus melompati terlebih dahulu ke bilangan desimal yang terdekat, Bisa saja angka 1/2. Tetapi, anda tidak boleh melompati ke angka 1/2 karena masih ada bilangan yang lebih kecil, yakni 1/4. Seterusnya selalu ada bilangan yang lebih dekat... yakni 0,1 lalu ada 0,01, 0,001, ..., 0,000001. demikian seterusnya, sehingga pada akhirnya bilangan yang paling dekat dengan angka 1 adalah bilangan yang demikian kecilnya sehingga dianggap saja nol. Karena bilangan terdekat adalah nol alias tidak ada, maka Anda tidak pernah bisa melompat ke bilangan 2.

By : Kikka.Chu 

jangan lupa tinggalkan Commant yaa...

thanks for reading 

History

Sejarah Bilangan

Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya mengenal angka1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmumatematika. Bangsa Mesir kuno menulisangka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yangdilambangkan dengan garis lurus untuksatuan, lengkungan ke atas untuk puluhan,lengkungan setengah lingkaran menyamping (sepertiobat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan dilambangkan dengan simbol seorang laki-lakiyang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistemhieratik. Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,dan M,yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad pertengahan.Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yangdigunakan oleh para ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orangArab.

Orang yang paling berjasa memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslimterkenal. Dia memperkenalkanangka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-Muqbala atau yang lebihdikenal dengan nama Aljabar . Angka nol ini kemudian dibawa keEropa oleh LeonardoFibonacci dalam karyanya Liber Abaci , dan semakin dikenal luas padazamanRenaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan ReneDescartes.Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang diIndiadisebut dengan sunya (kosong, hampa).Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan memudahkan seseorang dalam berhitung.

Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap sebagai dua hal yangsama. Sebenarnya, angka dan bilangan mempunyai pengertian yang berbeda. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sedangkan angkaadalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewakili satu bilangan. Contohnya, bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka 5 maupun menggunakan angka romawi V.Lambang ”5” dan ”V” yang digunakan untuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi, sebenarnya benda apakah yang biasa kita sebut dengan bilangan itu?Setiap bilangan, misalnya bilangan yang kita lambangkan dengan angka 1, sesungguhnya adalahkonsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat universal.

Misalnya,tulisan atau ketikan 1. Yang kita liat di kertas dan sedang kita baca saat ini bukanlah bilangan1, melainkan hanya lambang dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan kita berkat adanya pantulan cahaya dari kertas ke mata kita. Demikian pula bila anda melihatlambang yang sama di papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, dan lain-lain. Angka Mesir (3000-1600 SM)Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10 diwakilkan oleh lambang ^. Orangmesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga disimbolkan menjadi |||^^. Bilaanda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah dengan angka romawi XXIII. Angkaromawi tersebut pada dasarnya adalah sistem Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarangmasih kita gunakan setelah kemunculan pertamanya yaitu lebihdari 5000 tahun yang lalu. Angka Babylonia (1750 SM)Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini benar- benar sulitdigunakan, karena secara logika seharusnya membutuhkan 59 simbol yang berbeda (sama sepertisistem desimal berbasis 10 saat inimempunyai simbol yang berbeda sampai 9). Sebaliknya,angka di bawah 60 dilambangkan dengan kelompok-kelompok sepuluh.

Sumber : Scribd.SejarahBilangan

Strategi Matematika Menurut Ibnu Khaldun

Studi Komparasi Pendidikan Humanistik menurut Ibnu Khaldun dan Paulo Friere serta aplikasinya dalam pembelajaran Matematika

Menurut Aham Farisi dari Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta, Pendidikan selalu mendapat perhatian yang paling utama bagi setiap bangsa, karena pendidikan dapat dijadikan sebagai alat maupun tujuan dalam perjuangan mencapai cita-cita bangsa. Dalam sejarah perkembangan pendidikan umat manusia, ada satu penggal sejarah yang diwarnai dengan pertentangan antara pendidikan yang dijalankan secara demokratis dan sebaliknya pendidikan yang dilaksanakan secara otoriter. Guna menunjang keberhasilan pengajaran matematika, maka sangat diperlukan seorang tenaga pengajar atau guru. Sukses tidaknya pengajaran matematika juga ditentukan oleh metode yang digunakan dalam pengajaran matematika. Disatu sisi yang paling sering disorot adalah dari segi metode, di sisi lain ada yang menganggap bahwa metode adalah hanya sekedar alat saja, gurulah yang menentukan.

Realitas pendidikan sebagaimana yang tergambar diatas telah menumbuhkan kesadaran baru para pemikir dan peneliti untuk menempatkan kembali pendidikan sebagai proses penyadaran kritis bagi harkat kemanusiaan dan memanusiakan kembali manusia. Sebagai praktek pembebasan dapat dilihat sebagai harmonisasi sosial yang mengacu pada suatu landasan bahwa pendidikan adalah “Proses memanusiakan kembali”.

                Ibnu Khaldun dilahirkan dari keluarga politikus dan intelektual sekaligus. Suatu latar belakan kehidupan yang langka pada saat itu. Dengan bakat jenius dengan pengalaman yang matang di bidang intelektualisme membentuk kerangka berpikir ilmiahnya. Akan tetapi gagasannya tidak bisa dipisahka dengan Al-Qur’an sebagai akal pikir Islamnya. Dalam kitab Muqaddimah, Ibnu Khaldun menerangkan tentang metode pembelajaran Ilmu pengetahuan yang baik, agar tujuan pembelajaran dapat tercapai dengan sempurna. Metode pembelajaran ini meliputi segi siswa, sarana maupun guru.

                Ibnu Khaldun berpendapat pula bahwa, belajar yang efektif adalah dilakukan dengan pengulangan dan pembiasaan yaitu memasukkan sesering mungkin rangsangan. Pengulangan dan kebiasaan memberikan kemungkinan pada subyek didik untuk memahami prinsip-prinsip dan kaidah-kaidahnya. Belajar menurut hukum kausalitas terjadi melalui mengetahui sebab akibat. Mengetahui rentetan kausal dalam cara-cara yang benar dan sistematis akan memperkuat malakah. Apabila subyek belajar telah mencapai suatu malakah tertentu, maka ia akan mempunyai kesiapan untuk mencapai malakah dalam materi belajar lainnya.

                Prinsip ini dapat kita lihat dalam pendidikan matematika. Karena kehierarkisan matematika itu, maka belajar matematika yang terputus-putus akan mengganggu terjadinya proses belajar.Pengalaman belajar siswa dengan membimbing siswa untuk lebih memperkaya dirinya dengan berbagai soal dan latihan baik dari yang diberikan guru maupun dengan mencari sendiri dan sumber-sumber yang tersedia. Kemudian siswa juga dibimbing untuk mempunyai data semacam bank soal pribadi dari soal-soal yang di anggap menarik maupun sulit, yang perlu di diskusikan dengan guru maupun kepada orang yang dianggap mampu. Salah satu strategi pembalajaran matematika yang bisa digunakan sesuai dengan teori Ibnu Khaldun ini adalah metode Inquiry, yaitu metode yang berbasis penyeledikan dan menemukan sendiri. Pembelajaran dengan tingkat kemandirian siswa yang tinggi ini akan banyak sekali yang diperoleh.

                Secara garis besar, pemikiran Ibnu Khaldun dan Paulo Freire melalui pendekatan kritis sistematis mempunyai manfaat yang besar dalam inovasi pembelajaran matematika. Keduanya berasumsi bahwa guru dan murid harus sama-sama menjadi subyek pendidikan, obyek pembelajaran harus sesuai dengan realitas. Namun masih banyak yang dijumpai dalam pendekatan kritis sistematis tersebut. Konsep-konsep pendidikan yang di tampilkan keduanya terkesan masih secara global. Dari konsep penyandarannya Paulo Freire sampai metode tiga tahap Ibnu Khaldun terkesan kurang detail. Tidak ada contoh konkret yang ditampilkan. Namun demikian, konsep pendekatan kritis sistematis ini layak dijadikan pendekatan alternatif dalam pembelajaran matematika. Sehingga diharapkan matematika tidak lagi menjadi momok yang menaktukan.

**Gamsahamnida**

^^RizqikaTaufiqiRamadhaniati^^